균형복원포트폴리오(하프켈리와 변동성)

[ 최종수정 - 20x0508(금)06시03 ]

제목 : 균형복원포트폴리오 ( 하프켈리와 변동성 )

1. 변동성에 대하여

 [ 메트릭 스튜디오 ] 393 쪽에 나오는 그림인데 켈리베팅과 과소베팅, 과대베팅이 그리는 기하평균 수익율의 분포이다. 과대베팅의 경우 켈리비율의 2배를 넘기면서 슬슬 위험해지다가 결국 기대값이 0을 지나 마이너스로 떨어진다. 이성적인 관점에서 과대베팅은 취할 이유가 없다. 하프 켈리베팅의 경우 수익 기대값은 손해를 보지만 변동성의 감소라는 어드벤티지가 있다.

 켈리베팅에서 초기 원금의 2배에 도달하기 전에 반토막이 날 가능성은 1/3정도라고 한다. 2배와 반토막의 확률을 놓고 볼 때 2배가 될 확률이 반토박이 될 확률의 두배 쯤 되는 변동성을 가진다. 실전에서 초반에 시드를 2배까지 안정적으로 불리는 것은 중요한 이슈가 된다. 1/3이라고 해도 반토막이 날 확률은 결코 낮은 것이 아니라서. 가급적이면 첫 도달은 반토막보다는 2배가 되는 방향으로 연구. 피할 수 없는 변동성에 대한 대응의 문제이다.

 하프 켈리베팅에서 수익 기대값은 20%정도가 켈리베팅에 비해 줄어든다. 연속시행에서 누적되는 복리관점에서 보아야 하므로 결코 적은 데미지는 아니다. 그런데 이걸 감수하면 2배가 되기전 반토막이 날 확률은 1/9로 줄어든다. 반토막에 도달하기 전에 2배에 도달할 확률이 89%가 되는 셈이다. 위험관리의 관점에서 33%의 위험을 11%로 1/3토막 내는 셈이 된다. 프로 도박사들의 경우 이런 방어적인 하프 켈리베팅을 선호한다고 한다.

2. 균형복원포트폴리오에 대한 이해

 켈리공식의 모티브가 된 것이 섀넌의 균형복원포트폴리오이다. 동전던지기에서 맞추면 투자금에 더하여 100% 보상을 지급하고 틀리면 투자금의 50% 몰수한다는 조건이 걸린 경우에 대하여 소지금의 50%를 지속적으로 베팅하는 경우 파산의 가능성은 0이고 235회의 시행 후 기대 잔고는 100만배를 넘어선다. Shanon's Demon이라고 불리는 현상이다. 풀베팅의 경우 더 이상 쪼갤 수 없는 금액까지 잔고가 쪼그라들 확률이 100%에 가깝고 몇회를 시행하건 기대잔고 1을 넘기는 것도 어렵다는 것과는 아주 대조적인 흐름이다.

 동일비중 포트폴리오라고도 불리는 이 게임을 파이쪼개기로 분석해보면 파이는 두조각이고 전액을 거는 경우 0.5와 2를 회수할 수 있다. (0.5*2)**(1/2)=1. 즉 전액걸기의 기대수익은 본전이므로 0이다. 섀넌의 제안대로 50%를 거는 경우 틀리면 0.5와 0.25의 합인 0.75를 회수하고 맞추면 0.5와 1의 합인 1.5를 회수하게 된다. 기하평균을 계산해보면 (0.75*1.5)**(1/2)=1.0607이 된다. 매 시행마다 무려 6.07%의 이익기대값을 가지게 되는 것. 검증을 위해 25%를 거는 경우를 살펴보면 한조각에서는 0.75+0.125를 취하고 한조각에서는 0.75+0.5를 취하게 된다. (0.875*1.25)**(1/2)=1.0458이 된다. 이 경우도 4.58%의 기대이익을 갖지만 섀넌의 제안에 따랐을 경우보다는 불리하다. 섀넌이 제안한 균형복원포트폴리오 공략법에 대해 좀 더 분석을 진행해 보기위해 두배를 받거나 절반을 잃는 게임을 [ 50%균형게임 ]이라고 부르기로 한다.

3. 균형복원포트폴리오의 배당률과 변동성

 [ 50%균형게임 ]의 배당률은 켈리공식을 응용하면 우위/최적비 = 0.25 / 0.5 = 0.5라고 추정해 볼 수 있다. 우위는 전액걸기의 산술평균 기대값에서 투자금을 제외한 것.( ( 0.5 + 2 ) / 2 ) - 1 = 0.25로 계산했다. 10마리의 경주마를 놓고 1등을 맞추면 투자금의 10배를 지급하고 틀리면 몰수하는 경우와 같이 파이의 조각들 중에 고정 보상이 있는 조각 하나와  보상이 없는 나머지로 구성되는 게임에서 배당률을 구하는 것은 10-1=9라는 식으로 매우 간단한 문제가 된다.

 균형복원포트폴리오의 경우는 두 조각으로 분리된 파이에서 전액걸기 단독시행의 보상값 기하평균이 1이 되는 특수한 경우에 속하는데. 이 경우 한번 맞추고 한번 틀리면 본전이 된다. 균형복원포트폴리오에서의 배당률은 섀넌의 예시를 변형하여 틀리면 1/4을 받고 맞추면 4배를 받는 [ 25%균형게임 ]에서 동일한 검증을 거쳐보기로 한다.

 전액걸기의 기대값은 정의한 대로 당연히 (0.25*4)**(1/2)=1이 된다. 50%걸기의 경우 틀린 조각은 0.5+0.125를 돌려받고 맞춘 조각은 0.5+2를 돌려받는다. (0.625*2.5)**(1/2)=1.25 매시행의 기대수익은 25%이다. 25%걸기의 경우 틀린 조각은 0.75+0.0625를 받고 맞춘 조각은 0.75+1을 받는다. 이때의 기하평균 기대수익은 (0.8125*1.75)**(1/2)=1.1924 즉 19.2% 수준이 된다. 80%걸기의 경우도 체크해 보자면 틀린 조각에서는 0.2+0.2를 돌려받고 맞춘 조각은 0.2+3.2를 돌려받는다. 이때의 기대값은 (0.4*3.4)**(1/2)=1.1662 즉 16.6% 수준이 된다.

 섀넌이 제안한 최적값인 50%에서 30%과대인 80%걸기는 25%과소인 25%걸기보다 기하평균 기대수익이 떨어진다. [ 25%균형게임 ]의 배당률은 위의 산식대로 구해보면 무려 2.5가 되는 어마어마한 도박이다. 우위가 1.125나 되므로 해볼만한 게임이긴하나 섀넌이 제안한 최적베팅을 놓고 봤을 때도 변동성은 단 한번의 시행으로도 기초잔고를 반토막낼 확률이 50%이다.

4. [ 87%균형게임 ]에 대하여 : 현실모델

 [ 우위의 성격 ]이나 [ 시장상황 ]이나 [ 진입과청산의 운용전략 ]에 따라 천차만별로 갈리긴 하지만 대략적으로 알려진 확률적 기대수익을 극대화하는 변동성 대응, 즉 [ 최적손절선 ]으로 추천되는 지점이 13%근처이다. 한번의 시행에서 틀린 경우 13%를 잃는다고 했을 때 균형게임이 되려면 1/(1-0.13)=1.1494 맞춘 경우 대충 15%이상의 수익을 내고 익절할 수 있어야 한다. 다른 조건을 배제하고 13% 손절과 15%익절을 반복하는 시행에서 50%걸기가 갖는 매시행 기하평균 기대값을 계산하려면 역시 두조각의 파이로 놓고 틀린 조각과 맞춘 조각의 기대값을 이용하는 방식으로 가는 것이 편하다.

 틀린 조각에서는 남겨둔 0.5와 걸어서 13%를 날려먹은 0.435를 합친 0.935를 돌려받는다. 맞춘 조각에서는 남겨둔 0.5와 15%의 보상이 더해진 0.575를 합친 1.075를 돌려받는다. (0.935*1.075)**(1/2)=대충 1.0026. 0.2%의 기대수익을 가진다. 현실의 주식거래에서는 거래소가 들고가는 거래수수료와 매도세를 공제하면 절대 이득을 낼 수 없는 기대수익률이다.

5. [ 변형된 87%균형게임 ] : 우위를 가지는 현실모델

 13%의 손절선을 고정하는 경우 24%의 수익을 내고 익절할 가능성이 50%인 경우를 놓고 50%걸기의 기대값을 계산해보면 틀린 조각에서 회수액은 0.935로 동일. 맞춘 조각에서는 0.5에 더하여 0.5*1.24=0.62 즉 1.12를 회수하게 된다. (0.935*1.12)**(1/2)=1.0233 대충 2.33%의 기하평균 기대수익값을 갖게 된다.

 이 경우 첫 시행부터 10회연속 손절이 쌓이면 잔고의 51%가 남게 되고 11회째는 48%가 남는다. 즉 처음으로 두배에 도달하기 전에 반토막이 날 가능성은 0.00098 즉 0.1%정도이다. 반토막이 나지않고 두배에 먼저 도달할 확률이 99.9%가 되는데 현실의 제약조건들을 감안하면 절대 요대로 먹히기는 어렵다.

6. 현실의 제약조건들 : 수수료, 세금, 슬리피지

①한국의 주식시장을 놓고 봤을 때 1년 거래대금은 대략 1250조, 평균 거래수수료 0.05%로 잡고 1.25조, 세금이 0.3% 잡으면 대충 3.75조, 증권사 운용사 은행등이 나눠먹는 편드 운용 보수가 대충 2%선인데 전체 시장에서 펀드규모가 1/4정도이므로 0.5%잡으면 6조, 대충 11조정도가 거래대금에서 비용으로 빠져 나간다. 전체주식에서 대략 반정도는 기업 대표나 임원 지분이거나 장기 보유자, 연기금이나 기관의 장기 보유분에 들어 있어서 1년 중에는 거의 거래가 발생하지 않는다는 측면을 감안하면 한국 주식시장에서 거래를 계속하는 사람들은 평균적으로 2%정도의 비용을 물고 있다고 해석할 수 있다.

②슬리피지는 현실의 종목매매에서 운용자금이 일정규모를 넘어서는 경우 투기자의 매매행동자체가 가격에 영향을 미치는 것을 말한다. 13%의 손실이 발생하여 손절을 해야하는 데 내가 팔 물량이 100억이고 호가창에 -10%에서 -14%까지 걸려 있는 잔량의 총계가 90억, 100억을 던지는 경우 예상한계 하락폭이 -14.3%라면 슬리피지를 감안하여 전략상으로는 -13%손절 계획을 갖고 있더라도 -9%정도에 매도를 시행해야 겨우 -13% 근처에 물량을 정리할 수 있게 된다. 이런 식으로 실전은 계획을 그대로 관철시키는 것이 불가능하게 만드는 조건들을 형성하고 있다.

③전략의 검증문제 : 13%로 손절선을 고정할 때 24%의 수익을 내고 익절할 가능성이 50%인 진입장면이라는 조건을 만족시키는 시그널을 포착해 낼 수 있는가의 문제가 있다. 기존의 뜬구름잡는 매매법들로는 도저히 공략이 불가능한 지점이고, Animal Spirits의 영향을 절대 배제하기 힘든 경험적 판단, 감성매매, 직관, 감각 따위에 의존하여 오류없이 저런 장면의 시그널을 찾아낸다는 접근도 오컬트이다. 퀀트들의 경우 가설전략을 백테스트하는 식으로 기계적인 검증을 거쳐 검증에서 유의미한 시그널 판정 능력이 입증된 전략을 활용하는 식으로 접근하게 된다.

7. 마무리

 처음 의도와는 달리 이야기가 꽤 먼 곳까지 진행이 되었다. 그럼에도 여전히 뭔가 뚜렷한 대안을 제시하는 수준의 결론에는 도달하지 못한 상황. ㅎㅎ. BitMEX의 경우 위에서 제시된 사항들을 잘 활용하면 뭔가 전략이전단계의 매매기반에서 일반적인 접근보다 훨씬 더 유리한 공략법을 찾을 가능성이 있어 보인다. 이 부분에 대한 구체적인 글을 쓸 일은 없을 것 같긴한데.. 이 글 자체는 여기서 마무리를 짓기로 한다.