켈리공식

[ 최종 수정 - 20x0507(목)18시14분 ]

제목 : 켈리공식

1. 접근의 핵심

 [ 우위 ]가 존재하는 투기의 연속시행에서 기대 기하평균 수익률을 극대화하기 위해 매회 적용해야할 정률베팅의 최적 비율을 찾아내는 공식이다. [ 우위 / 배당률 ]로 표현된다.

2. 투기의 [ 우위 ]란

① 예를 들어 동전 던지기에서 맞추면 투자금의 두배를 지급받고 틀리면 투자금 전액을 몰수당하는 게임이 있다고 할 때. 결과를 맞출 객관적인 확률은 1/2이고 1회의 시행 후 예상되는 기대잔고는 0/2+2/2로 1이다. 이 때 우위는 1-1이 되어 0이 된다. 켈리공식에서 우위가 0이하인 경우 연속시행을 전제로 베팅을 시작하는 순간 이미 파산이 확정되어 있으므로 안 건드리는 것이 정답이다.

② 우선 경우의 수를 나누고 각 경우가 발생할 확률과 각 경우의 보상을 곱한 합을 구하면 산술평균 기대수익이 된다. 여기에서 투자금을 빼면 우위가 된다.

③ ①의 동전 던지기에서 특수한 동전을 사용하여 앞면이 나올 확률이 60%라고 가정하고 내가 그 사실을 알고 있다면 연속시행에서 앞면에 거는 경우 기대 수익을 계산해 보면 다음과 같다. 0x4/10+2x6/10=1.2 이 경우 우위는 1.2 -1 =0.2가 된다.

④ 일단 어떤 형태의 투기에서건 우위가 존재한다면 켈리공식을 통해 파산의 위험을 0으로 만들면서 연속시행의 장기 기대수익을 극대화 시키는 켈리베팅이 가능해 진다.

3. 우위가 있는 투기의 [ 배당률 ]과 켈리베팅.

 위의 예시에서 맞춘 경우 원금 대비 100%의 수익을 얻으므로 배당률은 1이 된다. 공식에 대입하면 0.2/1=0.2 ③의 동전 던지기에서 켈리베팅은 매 시행마다 소지금의 20%를 앞면에 계속 거는 것이 된다. 이를 통해 파산할 가능성이 없고, 장기적으로 가장 빠르게 가장 높은 수익을 달성할 수 있다.
  

4. 작동원리에 대하여

① 우선 전액을 걸었을 경우를 놓고 기대수익의 기하평균을 구해보면 (0*1.2)**0.5=0이다. 기대 수익의 기하평균이 0이라는 의미는 파산을 피할 수 없다는 뜻이 된다. 섀넌이 증명한 바에 따르면 전액걸기를 포함 모든 형태의 정액베팅은 파산을 피할 방법이 없다. 정률베팅 중에서도 켈리비율을 기준으로 기대수익의 기하평균은 낮아도 감소하고 높아도 감소하는데 낮은 경우는 파산은 피할 수 있지만 장기적인 수익 증가속도가 떨어지는 데 그치지만. 높은 경우는 거기서 더 나아가 일정 수준을 넘어서면 파산가능한 게임으로 바뀌게 된다. 파산의 위험을 떠안는 전략은 보수적인 관점에서는 시작부터 배제된다. 

② 정률법으로 5/10을 건다고 가정했을 때 각 경우의 기대회수액을 산정해 보면 100%의 확률구간을 표현하는 돌림판을 5등분했을 때 두칸에서는 0.5를 회수하고 세칸에서는 1.5를 회수하는 형태가 된다. 이걸 기하평균으로 계산하면 (0.5*0.5*1.5*1.5*1.5)**(1/5)=대략 0.9666이 된다. 켈리비율 대비 과잉베팅을 한 결과 기대 수익률은 -3.3%이다. 걸면 걸수록 불리한 게임이 되었을 뿐만 아니고 장기적으로는 파산이 확정되었다.

③ 켈리공식대로 2/10을 건다고 가정했을 때는 두칸에서 0.8을 회수하고 세칸에서 1.2를 회수하는 형태가 된다. (0.8*0.8*1.2*1.2*1.2)**(1/5)=대략1.0203이 된다. 매시행마다 2.03%의 기하평균 기대수익을 갖게 된다. 그리고 이게 주어진 조건하에서 기대수익의 최대점을 만들어 주는 켈리베팅이 된다.

④ 과소베팅으로 1/10을 건다고 가정해보면 두칸에서 0.9를 회수하고 세칸에서 1.1을 회수하는 형태가 되는데 (0.9*0.9*1.1*1.1*1.1)**(1/5)=대략1.0152. 기대값은 1.52%로 떨어진다.

※ 기초자산 25불을 주고 위 2-③의 동전던지기 게임을 시뮬레이션해주는 사이트( ☞요기 )도 있는데 옛날방식 사이트라 HTTP로 연결되서 경고가 뜬다. 첫화면에서 accept 누르고 들어가서 대충 기입하고 이메일 부분에 적당히 @달아서 써주면 게임을 진행해 볼 수 있다.

[ 스냅샷 ] 48번의 시행 결과 25불이 155불이 되었다.